近十年中算子代数有了很大的进步。一方面，映射形式的多样化。研究突破了原始的Lie 导子和Jordan导子的限制，而逐步把目光转向三重，多重，高阶的Lie 导子和Jordan 导子， *-Lie导子， ξ-Jordan 导子，可乘的Lie n重导子，广义 Lie 导子和 Jordan 导子等各种线性，可加，可乘及非线性的映射形式，增加了证明中的技巧和表达形式。另一方面，讨论范围的一般化。从最开始的上三角矩阵到上三角矩阵代数，从矩阵代数到广义矩阵代数，从因子von Neumann 代数到von Neumann 代数，扩展了研究视野，增加了研究者的兴趣。例如近期发表的保持映射的论文《Nonlinear mappings preserving product XY*+YX* on factor von Neumann algebras 》，它从 XY*-YX*到XY*+YX* ，从线性到非线性，整个问题的难度增加了不少。可导映射的论文《Multiplicative Lie n-derivations of generalized matrix algebras 》，它的讨论范围是从上三角矩阵到von Neumann 代数，从von Neumann 代数到 ， 再从B(X) 到矩阵代数，从矩阵代数到广义矩阵代数，它的映射形式也是从Lie 导子到Lie triple导子，从Lie triple 导子到Lie n 重导子，从Lie n 重导子到可乘的Lie n 重导子。交换映射的论文《Commuting maps on rank-k matrices》，它是从秩 k 到秩 n, 可见很多学者对算子代数的映射的刻画是成功的。 算子代数的研究主要包含它的结构问题和分类问题，其目的是通过映射的刻画来实现其分类。我们在近两年来做了以下工作。 1、霍东华. 论文, 非负半群上保持对称阵的项秩的可加映射, 高等数学研究,2019年7月. 2、霍东华，刘红玉. 论文，L-fuzzy Γ-子半群及其等价刻画，模糊系统与数学，2020年8月. 3、霍东华，刘红玉. 论文，素环和半素环上的对称斜反n-阶导子，数学的实践与认识，2020年12月. 首先，可以丰富算子代数理论的研究。算子代数主要是探讨代数的结构，并且利用映射来研究代数的分类。主要内容包括 von Neumann 代数及其分类， C*-代数及其张量积，w*-代数，交换的算子代数，因子理论，Tamita-Takesaki 理论，Borel 构造，von Neumann 代数的Borel 空间，约化理论和AF 代数等几方面。这些理论可以说比较丰富，基本上包含了算子的代数和拓扑的很多性质。然而由于其结构的复杂性，这些理论也很难把它的分类问题说清楚。这在一定程度上阻碍了算子代数理论的发展，而算子代数上可导和保持映射的研究是把算子本身的特殊性作为不变量，研究其上的映射，从而揭示出算子代数固有的性质和其上映射的联系，进而解决代数的分类问题。 其次，促进了其它领域的发展。算子代数实际上是纯理论的自然科学，但它在常微分方程，线性系统，量子力学等方面都有着举足轻重的作用。例如常微分方程在简化一个系统时需要做一个变换，而且还希望保持原系统的某些性质不变，那么研究保持映射就有很大的意义。再如，当维数是无穷维时矩阵的某些运算就无法进行，那么这些无穷维的问题就可以拿到算子代数中，利用算子的某些特性进行研究。

牡丹江师范学院

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