1.研究目的与意义 本项目研究的延迟脉冲微分方程和Volterra积分方程的具体模型广泛存在于控制工程、热传导、粘弹性、生物学和经济学等众多科学技术领域，有着重要的理论和实用价值。由于微分方程所讨论问题的模型是实际问题的一种近似的数学描述，有时候即使是微小的滞后也会给系统带来重大影响，因此，从某种意义上来说，延迟微分方程或积分方程比一般的微分方程或积分方程更能精确的反映系统的运动规律，所以对延迟微分方程和积分方程的研究是很有必要的。但是由于一般的延迟脉冲微分方程和Volterra积分方程很难得到其解析解，在实际应用中，如何针对这两类方程建立合适的数值计算方法，得到收敛的，尤其是高精度的数值格式等就显得尤为重要。 2.取得的主要研究成果 本项目 针对延迟脉冲微分方程和Volterra积分方程，采用结合谱方法和配置方法的一种新型的hp-谱配置方法，研究其指数收敛性。 取得的主要研究成果如下： (1) 研究了脉冲微分方程的hp-Gauss-Legendre 及hp-Gauss-Legendre-Radau 谱配置方法的收敛性。特别地，研究了脉冲微分方程的配置方法的收敛性、超收敛性及稳定性，其研究结果已经发表在SCI期刊Applied Mathematics and Computation上。这些研究成果将对脉冲微分方程的其他数值方法的研究提供一定的参考，对更进一步的研究依赖于状态的脉冲微分方程的数值方法提供基础。 (2) 研究了第二类Volterra积分方程的hp-谱配置方法的收敛性，得到了配置误差的2范数估计和无穷范数估计。研究表明，对于该类方程，hp-谱配置方法优于谱配置方法。这些研究成果丰富了Volterra积分方程的数值方法的内容。 (3) 研究了自变量分段连续型延迟微分方程及自变量分段连续型比例延迟微分方程的hp-谱配置方法的收敛性。研究表明，该类方程的谱配置方法的收敛条件依赖于方程本身，但是hp-谱配置方法的收敛条件不仅依赖于方程，还依赖于步长，我们总可以通过选取适当的步长来满足收敛性条件，因此，hp-谱配置方法优于谱配置方法。这些研究成果将为别的类型的方程的高精度的数值方法提供一定的参考。 (4) 与加拿大Memorial University of Newfoundland的Hermann Brunner教授合作给出了积分代数方程的可处理指标的定义，系统地研究了指标为1的积分代数方程的配置方法的收敛性，这也是国际上第一次系统的研究积分代数方程的数值解方面的工作。这方面的结果发表在SCI期刊SIAM Journal on Numerical Analysis上。该研究成果将在数值研究方向开辟一个新的小研究方向：积分代数方程的数值方法，具有重要的意义。 (5) 研究了具有分段线性延迟的微分方程的配置方法的收敛性和超收敛性、第一类Volterra积分方程的配置方法的具体的超收敛性、自变量分段连续型延迟微分方程的配置方法的收敛性及超收敛性、复矩阵系数的自变量分段连续型延迟微分方程的Runge-Kutta方法的稳定性。这些结果发表在SCI期刊Communications on Pure and Applied Analysis、Journal of Integral Equations and Applications、Journal of Applied Mathematics、Applied Mathematics and Computation上。这些方程的数值方法的研究将为该类方程的数值分析提供一定的依据，具有一定的理论价值和实际意义。

黑龙江大学

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